Практическая работа «Теоретическая механика (2)»

Практическая работа №3.

«Система сходящихся сил» рассматриваются задачи на определение реакций связей несвободного твердого тела, которые можно решать геометрическим и аналитическим способами.

1. Геометрический способ решения рекомендуется проводить в следующем порядке: 1)выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть для отыскания искомых величин;
2. изобразить заданные силы;
3. геометрически решить силовой многоугольник и определить искомые величины.

1. Аналитический способ решения задачи рекомендуется проводить в следующем порядке:
1. выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть для отыскания неизвестных величин;
2. изобразить заданные силы;
3. составить уравнения равновесия тела в проекциях на оси координат:

1. решить полученную систему уравнений равновесия и определить искомые силы.

Пример выполнения задания 3.1.

Груз Q удерживается в равновесии двумя стержнями АС и ВС, соединенными между собой и с вертикальной стеной шарнирами (рис. 3.1). Определить усилия в стержнях, считая их невесомыми, если углы, составляемые стержнями АС и ВС со стеной соответственно равны α и β . Решить задачу при следующих данных:

Q = 300 Н, α = 30^о, β = 60^о.

Решение. Рассмотрим равновесие шарнира С, и изобразим действующие на него силы: сила тяжести груза Q , S₁ и S ₂ реакции невесомых стержней АС и ВС соответственно, направленных по стержням в предположении, что они оба растянуты (рис. 3.1).

Для определения искомых усилий и можно воспользоваться геометрическим или аналитическими условиями равновесия. Рассмотрим оба способа решения задачи.

1. Геометрический способ. Согласно (3.1)

+ + = 0, (3.3)

т.е. треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут.

Построение начинаем в произвольной точке

плоскости с известной по модулю направлению

силы . Через начало и конец вектора проводим

прямые, параллельные силам и . Точка

пересечения этих прямых даст третью вершину

треугольника. Направление обхода треугольника Рисунок 3.2

согласно (3.3), т.е. направления векторов и задает вектор (рис. 3.2)

Заметим, что направление вектора на рис 3.2 противоположно его первоначально выбранному направлению на рис. 3.1. Это означает, что предположение о том, что в положении равновесия стержень ВС растянут неверно; в действительности стержень ВС сжат.

Определим величины усилий

S₁ = Q cos α = 260 H;

S₂ = Q cosβ = 150 H.

1. Аналитический способ. Согласно (3.1)

Проводим в точке С координатные оси С_x по стержню АС, а С_y по стержню ВС, так как по условию задачи угол АВС=90º (рис. 3.1) Записываем аналитические условия равновесия тела при действии плоской системы сходящихся сил (3.2):

Проецируя уравнение (3.3) на выбранные оси, получаем

– Q cos α +S₁ = 0;

Q cosβ + S₂

Решая эти уравнения находим S₁ = 260 Н; S₂ = – 150 Н

Вывод сила реакции стержня S₂ направлена от вертикальной стены по стержню от В к С.

= 0.

Пример выполнения задания 3.2. Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А, а у конца В она положена на катки (рис. 3.3, а). В середине балки, под углом α = 45⁰ к её оси, действует сила F. Определить реакции опор, пренебрегая весом балки.

Решить задачу при следующих данных:

F = 2 кН, АС = СВ = 2 м. α =45º

Рисунок 3.3

Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ находящейся под действием силы F.

По теореме о трёх силах R_A реакция опоры А проходит через точку О пересечения линий действия сил F и R_В (рис 3.3, б). Следовательно, балка АВ находится под действием плоской системы сходящихся сил. Для решения задачи введем декартовую систему координат Axy и запишем аналитические условия равновесия (3.2) для рассматриваемой задачи

R_A cos γ – F cos α = 0,

R_A sin γ – F sin α + R_B = 0, (3.4)

Вычислим входящие в (3.4) синус и косинус угла α и угла γ. Треугольник СВО является прямоугольным и равнобедренным СВ = ВО = 2 м. Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора находим гипотенузу АО

= 2 ≈ 4,47

Тогда cos γ = ≈ 0,89 sin γ = ≈ 0,45

Далее из (3.4) определяем искомые реакции балки АВ:

R_A ≈ 1,58 kH;

R_B ≈ 0,71 kH;

Пример выполнения задания 3.3

Определить модуль равнодействующей двух равных по

(рис.3.4, а) величине сходящихся сил F₁ = F₂ = 10 H , образующих между собой угол α = 60º

Рисунок 3.4

1. Геометрический способ. Вектор равнодействующей R определим по теореме косинусов

≈ 17,3 H.

1. Аналитический способ. Введем в точке О декартовую систему координат Оху, направив ось Ох по силе F₁ (рис. 3.4, в) вычислим проекции равнодействующей R на декартовые оси: